1. 背景

前段时间在和一个国外学生Adem交流一组试验数据的处理方法时出现了以下的一个分歧：试验目的主要是为了测试等向压缩过程中不同基质吸力状态下非饱和膨胀土的体变模量(E)问题，最终将这一参数用于计算浅层地基的变形，所以对应的荷载其实并不大。其中一组等吸力状态下的体变-净平均应力的关系曲线试验数据如图1所示，其他试验数据与此类似。

图1 原始试验数据

方法一：

从图中可以发现，由于试验中所施加的净平均应力并不大，最大也仅仅为200kPa，另一方面试样的干密度又较大，加之又处于非饱和状态，导致先期固结压力较大，所以在整个压缩过程中曲线并没有显现出明显的非线性，使用线性拟合发现拟合效果也相当不错，R²=0.9852.

如果根据体变模量的定义（D. G. Fredlund et al. 1993）将几个变形参数公式写在一起；

；(1)

不难发现，体变模量可以直接根据应力应变曲线每一个加载步的斜率进行计算，即E = 3*(1-2μ) / (slope in each load step)，但是这时存在一个问题：由于应力应变曲线并不严格为直线，那么在一个常吸力状态下的等向压缩过程中每一个加载步都会对应得到一个体变模量值，这样的结果无论是在之后的模型建立中还是在实际的数值模拟使用中都是极为不便的。所以做出了如下的简化处理，近似线性的应力应变曲线则可以直接使用整个直线的斜率来代替每个加载步的斜率，结果就可以在一个常吸力下对应一个体变模量值，这样也符合我们实验的最终的预期成果之一：分析吸力对土体变形模量的影响，进而探讨与非饱和膨胀土体变本构模型应用方面的相关问题，而暂时忽略了不同应力水平下体变模量的差异问题。

如果假设泊松比为0.33，那么很容易得到变形模量为1902.99kPa，使用这个变形模量值来进行应力应变关系的计算时，由于是逆运算的关系，得到的自然是图1中的线性拟合线。

方法二：

但是Adem坚持使用增量法来进行计算，用到了式(1)中的最后一项，如果将0-200kPa作为一个大的加载步，那么(σ-u_a)_ave=100kPa，压缩指数C_t取e-lg(σ-u_a)曲线的直线段值（图2所示），使用式 (2) 的最后一项来进行计算。

；(2)

图2 原始数据e - lgp曲线

那么得到的结果为：

C_t = ln10*(the slope of linear part of e-lg(p) curve)

E = 6.908*(1-2μ)(1+e₀)/C_t*(σ-u_a)_ave = 406.1327 kPa.

发现两种方法计算的结果相差巨大，已经不仅仅是误差范围内的差异了，从原理上来讲，应力应变曲线和e-lg(σ-u_a)曲线都是描述土体变形的一种方法，仅仅状态变量是选用体应变还是孔隙比之间的差别，应该不会有如此大的差别了。

那么问题究竟出在哪个地方呢？

在于对数坐标的使用上！

2. 对数坐标的来源

在国内的几个土力学教材版本中，都是在土的压缩性部分介绍出了半对数坐标系e-lg(p)曲线的使用，但是都没有解释为什么采用半对数坐标系。此外，在粒径分布曲线和非饱和土中的SWCC等曲线中也都使用了对数坐标系。

回顾这些应用，不免会思考下面这个问题：其实更加简单的双曲线也在通常的坐标系下也会有类似的形状，为什么单单会有如此多的地方使用对数坐标系？会不会有更深层次的原因呢？

其实，更重要的是这些方面的应用都有一些共同的特征：

(1) 变量之一在所研究的范围内发生了几个数量级的变化；

(2) 在自变量由零开始逐渐增大的初始阶段，当自变量的少许变化引起因变量极大变化时，此时采用半对数坐标，曲线最大变化范围可伸长，使图形轮廓清楚；

(3) 需要将某种函数变换为直线函数关系。

回顾对数的产生过程：

尽管对数的产生要比指数更早，前者产生于1614年纳皮尔出版的《奇妙的对数定律说明书》（Joost Bürgi独立发现了对数，但直到纳皮尔之后4年才发表），之后布里格斯于1624年在出版的《对数算术》中对其加以改造，并使之广泛流传。而指数符号则直到近二十年后的1637年才有法国数学家笛卡尔首次采用，只到1770年，欧拉在出版的一部著作中使用了y=a^x 来定义x=log_a(y)，他指出：“对数源于指数”。(引自：百度百科)

那么在岩土工程里面为何要使用对数呢？

那得从土的压硬性说起。在侧限压缩中，并不会出现剪切中的破坏问题，随着荷载的增大，土体不断被压缩，密度不断增大，变得越来越“硬”。这一现象很容易联想到我们常见的复利计算方法，随着时间的增加，利息不断加入原有本金而用于计算下一个计息周期的利息，在土体中，一定空间内土颗粒的不断增多用于抵抗下一个阶段的荷载。Oh yeah，看，是不是有点跟上节奏了。最终本息和将成为计息周期的指数函数：P=A*(1+i)^n，而土体所能承担的荷载是土体密度（注：由于土体的最终变形是处于荷载全部由土体骨架所承担，所以此处代表干密度）的指数函数，如果使用孔隙比变化来表征土体的干密度变化，就有了p=1.0E[N-(1+e)/λ]，底数也可以换成自然对数等其他base形式，进行变换就得到了常用的NCL表达式：ν=1+e=N-λ*lg(p)。当然，使用自然对数还是10为底的对数区别仅仅在于曲线的斜率之间会有一个常数倍的关系，但是他们的起源是不同的，笔者将在下一篇文章里面更加详细的讨论土的压硬性和复利计算类比这一问题。

总结一下，我们应该在下列情况下应用对数坐标系：

(1) 如果所研究的函数y和自变量x在数值上变化了几个数量级；

(2) 需要将曲线开始部分划分成展开的形式；

(3) 当需要变换某种非线性关系为线性关系时。

这时，一个同学勇敢的举手发言：难道说我们学习了N年的土力学教材就被你这随便一YY就失效了? 严谨一点，好不。。。Too young, too simple !

好好好，这位同学，坐下喝杯茶，先压压惊，且听慢慢道来。

在《土力学》教材中通常讲解了四个与侧限压缩相关的参数：压缩系数、压缩指数、压缩模量和体积压缩系数。

压缩系数：孔隙比增量和荷载增量的比值，a=-△e/△p；

压缩指数：孔隙比增量和荷载对数增量的比值，C_c=-△e/△(lgp)；

侧限压缩模量：应力增量和应变增量的比值，E_s=△σ_z/△ε_z=(1+e₀)/a；

体积压缩系数：侧限压缩模量的导数，m_v=1/E_s=a/(1+e₀)；

从计算公式来看，都从增量的角度进行定义。那么对于实际的使用来讲，由于大多的土体的压缩曲线是非线性的，如果使用“压缩系数”、“压缩模量”和“体积压缩系数”的话，势必会造成在每一个应力状态下这些参数都有一个不同的参数数值的情况，而且参数随着荷载的变化还会比较明显，再加上什么含水率、什么应力比、应力水平、加载速率等等因素，是不是已经晕了，搞得这么复杂，这不是要让本来就苦逼的工程师们骂街的节奏么! So, 半对数坐标系应运而生，除了压力比较小的范围有些乏力以外，一个λ或者C_c就可以描述相当范围内比体积或者孔隙比随荷载的变化规律，简直是爽爆了有木有。而且，通常情况下自重应力再加上基础传来的附加应力导致地基土体中的应力都大于100kPa，在大于100kPa范围内的压缩曲线使用e-lg(p)来表示是没有问题的，见图2。这也是在《土力学》教材(李广信，2013)和《建筑地基基础设计规范》(GB 50007 - 2011)中对土体的压缩性(低、中、高)分类是以100-200kPa荷载段来进行的原因之一。而且，在《建筑地基基础设计规范》(GB 50007 - 2011)和《岩土工程勘察规范》(GB 50021 - 2001)(2009版)中也都明确指出压缩系数和压缩模量会随着荷载而改变，在使用各向同性均质线性变形体理论进行地基变形计算时也是使用“土的自重压力至土的自重压力和与附加压力之和的压力段”所对应的压缩模量，而非直接使用λ或C_c来进行变形计算。

所以说在规范所考虑的通常情况下，一般是不会出现本文中所涉及的问题的。

但是，如果不是规范中所默认的通常情况，而是需要计算几个kPa、几十个kPa情况下的基础变形问题怎么办?比如说月球上的基础设计呢?或者超固结比很大的超固结土，其应力状态处于线弹性范围内的情况呢(本文的图1)?这时就必须考虑在压力比较小的情况下半对数坐标系的适用性问题了。

写到这里发现本文其实也没有解决任何实际的问题，仅供思考，谢谢观看！:)

【参考文献】

[1]   Fredlund, D. G. & Rahardjo, H. 1993. Soil mechanics for un-saturated soils[M]. New York: John Wiley & Sons Inc.

[2]   李广信, 张丙印, 余玉贞. 2013. 土力学[M]. 北京: 清华大学出版社.

[3]   中国建筑科学研究院. 建筑地基基础设计规范[S]. 北京: 建筑工业出版社.