1 研究背景
地下水源热泵是极具潜力的一项绿色节能技术，2005 年被中国建设部列为建筑业十项新技术之一，其在建筑物中的推广应用是国家列为节约资源节约工作重点之一，同时许多地方都把发展地源热泵作为发展本地经济的一个契机。例如北京市，自1999年起以北京工业大学为基地，进行地热供暖示范工程及低温地热能梯级利用技术研究，同时将地源热泵中央空调作为2008 年北京奥运会指定选用的空调形式。
地下水源热泵技术（GSHP:Ground Source Heat Pump），是一种采集浅层低温地能（地下水，如图1所示），同时满足供暖和制冷的需求，并且实现零污染排放的能源利用方式。地源热泵的研究虽然从1912年就起始，并且20世纪50年代在欧洲和美国经历了研究的第一次热潮，但直到20世纪70年代，世界石油危机使得人们关注节能、高效用能，地源热泵的推广应用才得以迅速展开。它不仅利用了大自然的可再生能源，大幅度节约传统的高品位建筑用能，还可以真正实现供暖制冷无污染的绿色居住环境。国内外专家均认为，采集大自然低温可再生能特别是浅层地能是21世纪取代传统供暖制冷方式最为现实最有前途的技术措施。但是地下水的大量采集如果没有进行及时的回灌会造成地表的沉降，从而影响到建筑物的使用安全，因此对采集后的地下水（利用后的地下水）进行回灌是很有必要的。但是对地下水的回灌并不像采集时那么轻松，由其引出回灌过程中困难的问题，造成回灌困难的机理一般为物理堵塞，化学堵塞以及微生物堵塞这三大类，鉴于本文的研究方向，我们只着眼于物理堵塞的问题上，从悬浮颗粒的迁移和沉积着手，图2为物理堵塞的示意图。
图1 地下水源型热泵示意图
图2 固体颗粒通道阻塞示意图
在国外，Iwasaki(1937年)首先提出了颗粒捕获和渗透的现象模型，模型假定颗粒沉积符合线性动力学方程，模型的数值解通实验结果有较好的吻合，因此该模型应用到由于岩石渗透性下降引起注水井注水效率降低是有所帮助的，但是该模型并没有考虑颗粒的迁移机理，只是假定了单一的线性关系。随后，不同的学者在微观节点模型上进行了大量的研究，比如Payatakes et al.(1974年)，Siqueira et al(2003年)等，在他们的研究都涉及到颗粒沉积的力学机理。
Sharma and Yortsos(1987年)对多孔介质中悬浮颗粒迁移的平衡方程进行了推导，假定了孔隙的大小是均匀分布，整个孔隙都可有悬浮颗粒通过并且颗粒的迁移是随着孔隙内水体的流动而流动，但是在假定多孔介质中孔隙的大小均匀分布时是有所缺陷的，因为在自然界中当悬浮颗粒经过比其直径小的孔隙时将堵塞在孔隙的入口处，当悬浮颗粒流经比其直径大时才会在孔隙中随着水体的流动而流动；Wang H.Q(2002年)通过室内试验发现造成堵塞的颗粒受到尺寸效应的影响，从而打破了以前的一些单一的假设。
在国内，何满潮等(2002,2004年)对地热水对井回灌渗流场中的渗透系数进行了研究，研究得出受地下水温度的影响，在井体周围产生物理堵塞，使得井体周围的渗透系数减小，从而增加了回灌的难度，并且得出了 这一衰减方程。方肇洪等(2006年)对单井回灌地源热泵承压含水层渗流给出了具体的解析解。虽然国内的不少学者在地源热泵井的回灌问题上做了大量的工作，但是在因回灌困难带来的物理堵塞的机理上的研究是很少的，笔者本着简单的原则来推导物理堵塞机理的理论。
本文在肯定了国内外学者的贡献基础之上建立了多孔介质中颗粒的迁移方程和颗粒的沉积模型，同时在模型的建立过程中充分考虑了颗粒流动速度折减系数、孔隙率的变化以及颗粒在孔隙里发生捕获的概率这三因素，为解决地源热泵回灌井物理堵塞的室内外的实验研究提供理论依据，望能给地下水源热泵技术的大范围的推广提供坚实的理论基础。
2 多孔介质中颗粒迁移和沉积的数学模型的建立
首先给出几个基本假定：
悬浮颗粒为球体，其半径保持不变，大小为 。
多孔介质里的孔隙为圆柱体，半径为 ，且服从正态分布。
流体为不可压缩的，均匀，并且只考虑一维情况下的流体的流动。
2.1 传统深层过滤模型
1937年Iwasaki 首先建立了深层过滤系统中颗粒迁移的数学模型，1970年Herzig等在结合达西定律同时考虑颗粒质量平衡、颗粒捕获动力效应后得到的如式(1)的经典数学模型：
式(1)在适当的边界条件下可以通过抛物线法（Massi at el,2002）得出具体的解析解，事实上，式(1)中第一和第二式是相互独立的，二者构成颗粒迁移和捕获的动力模型，但是我们从式(1)可以看出，式中并未考虑了悬浮颗粒速度折减系数、孔隙率的变化以及流量折减系数以及悬浮颗粒捕获概率的影响，我们可以说式（1）是不全面的，因此本文的重点将放在考虑三大变化因素（速度折减系数，流量折减系数，捕获概率）上，来推导多孔介质中悬浮颗粒的迁移和沉积的方程。
2.2模型的建立过程
在解决问题前，首先引入悬浮颗粒，捕获颗粒以及孔隙半径的分布，
式（12）的物理意义为：孔隙入口处颗粒的沉积是大于孔隙半径的悬浮颗粒引起的，也即通常所假定的一个颗粒能阻塞一个孔隙；反之亦然。
接下来推导悬浮颗粒和捕获颗粒的平衡方程：
颗粒流动方程的建立：
当颗粒流经大于其半径的新的孔隙前并不能保证所有的悬浮颗粒都能进入孔隙中，所以我们引入参数进入
式（20）就是所求悬浮颗粒整体平衡方程，同式（1）的第一个式子相比较后，在引入了流量折减系数，空隙率折减系数和速度折减系数后表达式变得更加完善，当然式子的形式变的更复杂，这样给求解问题带来的很大的困难。
封闭系统中的控制方程：
此处的封闭系统指颗粒进入孔隙后在孔隙内的迁移、沉积以及捕获的过程。
研究的重点将放在颗粒捕获率和孔隙堵塞动力方程上；
3 边界条件
下面将对孔隙介质中边界条件的确立进行描述，在确定边界条件时我们更多的是关心悬浮颗粒在入口处的浓度变化情况，在初始阶段，我们先假定一给定的颗粒浓度的分布，如式(24)所示，多孔介质的入口处的横截面可以理解为一个多孔筛，注入的细颗粒在水体作用下流经可利用的多孔介质的孔隙中，对于那些末能利用的多孔介质的孔隙将发生沉积现象，久而久之，将在孔隙壁形成沉积，进而影响堵塞。下式为悬浮颗粒在注入的起始阶段的边界条件的表达式。
考虑到该数学的复杂性，要给出个具体的解析解是相当的困难，在以后的工作中笔者将通过两个简单的例子对该模型进行验证。
结论：
文中的模型是建立在质量守恒定律的基础之上，在公式的推导过程中充分的考虑了流量折减系数，速度折减系数等因素，该模型对解决地源热泵回灌井回灌困难的问题提供了理论依据，模型的建立将为后续的实验研究提供理论基础，笔者在接下来的工作中将利用实验来验证该模型。
从模型中可以得到，堵塞的发生往往是由一个颗粒所引起的，即：一个颗粒堵塞一个孔隙，反之亦然.
模型的建立考虑孔隙率变化的情况，在物质的迁移和堵塞的过程中，孔隙率的变化往往也是个动态的变化过程。
相比与传统的过滤模型，考虑了速度折减系数和流量折减系数后模型显的更加全面。
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